Метод половинного деления

Для решения системы

Рассмотрим систему нелинейных алгебраических уравнений

¦1(φ1,φ2)=0,

¦2(φ1,φ2)=0.

Для решения этой системы можно воспользоваться методом последовательных приближений. Допустим, что у нас есть начальные приближения φ10 и φ20, тогда (φ1-φ10) и (φ2-φ20) – погрешности решения. Предполагая, что функции f1 и f2 непрерывно дифференцируемы в некоторой выпуклой области, разложим левую часть уравнений по степеням, ограничиваясь линейными членами

.

Решая эту систему линейных уравнений, найдем новое приближение (j11,j21) и повторим всю эту процедуру снова до тех пор, пока погрешности решения не будут удовлетворять заданному условию:

, где d – заданная величина и n=0,1,2,…

Для решения системы уравнений (I) выбран метод Ньютона. Метод Ньютона обладает быстрой сходимостью и, несмотря на то, что этот метод чувствителен к начальному приближению, во многих случаях можно обеспечить его сходимость правильно подобрав начальное приближение.

Для решения уравнения (2) был выбран метод деления отрезка пополам, т.к. этот метод прост в реализации и обладает устойчивой сходимостью при варьировании начального приближения.

Выбранные методы решения реализованы в виде программы на ЭВМ, выполненной на языке программирования PASCAL. Программа составлена в форме двух блоков: внутреннего и внешнего. Внутренний блок – решение системы уравнений, определяющей геометрию пневмооболочки; внешний блок – решение уравнения, в котором происходит подбор одного из давлений.

Исходными данными программы являются: длина поперечного сечения пневмооболочки, координаты точек крепления и соприкосновения с поверхностью, коэффициент трения, величина обжатия, начальное давление в пневмооболочке и давление в подушке, начальные приближения геометрии. В результате решения программа выдает значения углов, радиусов, координат центров тяжести, внешней нагрузки, длины дуги, давление в пневмооболочке.

По изложенной методике и реализующей ее программе были приведены систематические расчеты удлиненной пневматической оболочки. Определялась форма поперечного сечения пневмооболочки, а так же осуществлялась подборка давления при заданном втором давлении. По полученным результатам мы получили форму поперечного сечения пневмооболочки показанную на рисунке 5. Данная форма получена при различных коэффициентах трения.

1.Нормальная сила определяется давлением Р в оболочке и шириной зоны контакта с поверхностью. И то другое связано с формой пневмооболочки. Следовательно, нормальная сила непосредственно влияет на ее форму.

Далее проанализируем влияние силы трения, а так же модуля упругости на нормальную силу обжатого пневмоскега.

2.Влияние силы трения на нормальную силу.

В нашем случае наблюдается две тенденции:

Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Pизб) действуют в одну сторону (положительная ось). У нас давление в оболочке растет, а ширина зоны контакта с поверхностью падает. Причем ширина зоны контакта падает интенсивней, чем растет давление. Следовательно, нормальная сила, определяемая по формуле:

N = Pdl

падает с ростом силы трения.

Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Ризб) действуют в разные стороны (отрицательная ось). В нашем случае происходит скачкообразное изменение положения равновесия.

Все эти аспекты показаны на рисунках 6,7 и 8.