Интегрирование дифференциальных уравнений

Процесс разгона автомобиля описывается дифференциальным уравнением второго порядка: d2S/dt2 = j(V, S, t), где j – зависимость (функция) ускорения j от V, S и t; V и S – скорость в м/с и путь автомобиля в м, t – время разгона, являющееся независимой переменной.

Уравнение второго порядка сводим к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

dV/dt = j (V, S, t); (13)

dS/dt = V (S, t)

где V – зависимость (функция) скорости V от S и t.

Разгон автомобиля рассчитывается путем интегрирования системы уравнений (13) методом Эйлера. Метод дает приемлемую точность расчета ~1%. По методу Эйлера от бесконечно малых величин dV, dS и dt переходят к обычным малым величинам DV, DS и Dt. Наибольшие их значения зависят от выбранной величины шага Dt интегрирования. Чем меньше Dt, тем выше точность расчета, но больше затраты времени. На каждом шаге расчета в течение интервала Dt ускорение и скорость автомобиля считают постоянными. Для расчета было подобрано значение Dt = 0,001 c.

Уравнения (13) записываем в приращениях:

DV = j (V, S, t) × Dt; DS = V (S, t) × Dt. (14)

Вычисляем приращения, и затем находим скорость, путь и время:

V2 = V1 + DV = V1 + j (V1, S1, t1) × Dt; S2 = S1 + DS = S1 + V1 × Dt; t2 = t1 + Dt (15)

где V1, S1 и t1 – значения в начале шага; V2, S2 и t2 – в конце шага. Ускорение вычисляем по значениям переменных V, S и t в начале шага. На следующем шаге принимаем V1 = V2, S1 = S2 и t1 = t2, и снова рассчитываем значения переменных в конце следующего шага.

Значения V, S и t в начале участка называют начальными условиями. Если автомобиль разгоняется с места, то V1 = S1 = t1 = 0. Если рассматривается следующий участок разгона, то начальные условия (v1, s1 и t1) берут равными значениям, полученным в конце предшествующего участка.

Запишем алгоритм расчета по методу Эйлера, учитывая условия конца участка и вывод на печать:

1). Задаем параметры автомобиля, двигателя, дороги; интервал времени интегрирования Dt; интервал времени вывода на печать DtП; скорость Vк или путь Sк или время tк в конце участка;

2). Задаем начальные условия V1, S1 и t1; время печати tП=0;

3). Вычисляем ускорение j (v1, s1, t1) по формулам (1) – (12);

4). По формулам (15) вычисляем значения V2, S2, t2 и tП = tП + Dt;

5). Если tП > DtП, то печатаем на экран или в файл j, v2, s2, t2 и другие параметры автомобиля, и задаем tП = 0;

6). Проверяем условие конца участка по заданному выше ограничению, и при выполнении условия переходим к п. 8);

7). Переходим к расчету следующего шага, п. 3);

8). Стоп.

По программе на каждом шаге вычисляются силы сопротивления качению, подъему и воздуха, а также крутящий момент двигателя и тяговая сила на колесах. Рассмотренные выше формулы записаны в программе операторами последовательно, они образуют блок вычислений.

Перед запуском программы нужно ознакомиться с настоящим методическим указанием. Выписать из справочника НИИАТ /1/ (можно использовать издания других лет) значения параметров автомобиля. Затем рассчитать: радиус качения колеса rко, коэффициенты d учета вращающихся масс при движении накатом и для каждой передачи, лобовую площадь автомобиля F. Подобрать значение коэффициента k обтекаемости автомобиля, коэффициент Kв учета потерь мощности двигателя на привод вспомогательных агрегатов, коэффициент использования мощности KN и коэффициент полезного действия трансмиссии hтр. Для расчета можно использовать: конспекты лекций, указания по выполнению курсовых проектов /2/, учебную литературу /3/, /4/, /5/ и др.

Работа с программой организована в режиме диалога с компьютером. При запуске программы сначала выводится на экран краткая инструкция. Инструкция содержит несколько страниц. Для вывода на экран следующей страницы следует нажать клавишу Enter, для перехода в основное меню нажать Esc. Инструкция записана в отдельном файле help3.txt, который можно загрузить редактором Word и напечатать.