Вероятность безопасного входа на очередное колено фарватера

Для вывода формулы, определяющей корреляционный момент, выразим погрешности Δz и bh через погрешности Δx и Δy, направленные по главным осям эллипса погрешностей:

Δz = Δx cos δ + Δy sin δ; bh = Δx cos β + Δy sin β.(2.2.9)

В курсе теории погрешностей показано, что при отсутствии систематических погрешностей корреляционный момент определяется выражением КΔzbh = М(Δz*bh). Здесь М – символ математического ожидания. Подставляя сюда значения Δz и bh, определяемые формулами (2.2.9), применяя к их произведению оператор математического ожидания и учитывая, что М(Δx2) = mx2, М(Δy2) = mу2, М(Δx Δy) = КΔxΔy = 0, получим:

КΔz bh = a2cos δ cos β + b2 sin δ sin β.

Приравнивая это выражение нулю, получим условие, при котором погрешности по осям Z и H независимы:

b2 / a2 = – ctg δ ctg β.(2.2.10)

Рассмотренные условия независимости являются весьма редкими частными случаями. Поэтому в общем случае при зависимых погрешностях, то есть когда направления границ фарватеров не совпадают с главными осями эллипса погрешностей, для оценки навигационной безопасности плавания используется следующий приближенный прием.

Область пересечения полос фарватера делится линиями, параллельными главным осям эллипса погрешностей, на элементарно малые прямоугольники. Поскольку границы этих прямоугольников окажутся параллельными главным осям эллипса, то погрешности, перпендикулярные сторонам элементарных участков, являются независимыми. Вероятность нахождения места судна на каждом из этих прямоугольных участков вычисляется по формуле (2.2.9). Итоговая вероятность нахождения точки поворота в пределах фарватера определяется путем суммирования вероятностей попадания в каждый из прямоугольных участков области пересечения D. Этот прием весьма трудоемок и поэтому для практических целей малопригоден.

Задача оценки вероятности выхода судна на второе (очередное) колено фарватера существенно упрощается, если ее решать при условии нахождения судна в границах первого колена.

Обозначив событие нахождения судна на первом колене фарватера S1, событие нахождения на втором колене фарватера – S2, можно написать, что вероятность нахождения точки поворота одновременно на обоих коленах фарватера равна

Р(S1S2) = Р(S1) Р(S2 / S1),

где Р(S2 / S1) – вероятность попадания на второе колено при условии, что событие S1 произошло (попадание на первое колено имело место).

Так как, согласно принятому условию, судно достоверно находится в пределах первого колена, то Р(S2 / S1) = Р(S2) и поэтому

Р(S1S2) = Р(S1) Р(S2).

Но так как Р(S1) = 1, то вероятность Р(S1S2), соответствующая ранее принятому обозначению Р, определяется только величиной Р(S2) = Р2, то есть Р = Р2.

Судно практически достоверно находится в пределах первого колена фарватера, если отношение меньшей из допустимых погрешностей Δz к средней квадратической погрешности удовлетворяет условию (Δz / mz) = 3. При этом вероятность нахождения судна в пределах первого колена фарватера не менее 0,997, то есть практически стопроцентная (P1 = 1).

В этом случае интересуемая нас область, в которой должна находиться точка поворота, из параллелограмма превращается в полосу практически бесконечной длины (с точки зрения сравнения длины второго колена с возможными погрешностями места судна).

Для того чтобы после циркуляции судно попало в заданное расстояние от кромки фарватера d (рис.2.5), вторая полоса фарватера поступательно смещается в сторону, противоположную курсу подхода судна на величину s = kO = Rtg(α / 2), зависящую от радиуса циркуляции R и от угла поворота α (смещенная полоса на рисунке отмечена штриховкой). Нахождение точки поворота в любом месте смещенной полосы обеспечивает (после выполнения циркуляции) попадание точки конца поворота в пределы границ второй полосы фарватера, границы которой обозначены на рисунке сплошными линиями. При этом корпус судна при любых его габаритах окажется вмещенным во вторую полосу. Для заданной точки поворота, являющейся центром распределения погрешностей, попадание судна во вторую полосу обеспечивается, если погрешности, перпендикулярные ее оси, не превысят допустимых значений b' и b''. Следовательно, вероятность появления случайных погрешностей, не превышающих допустимые, и будет вероятностью попадания судна на второе колено фарватера. Она рассчитывается по формуле (2.2.4).